Тема 4. Средние величины

Главные понятия

Средняя величина – это обобщающая мера варьирующего признака, которая охарактеризовывает ее уровень в расчете на единицу совокупы. Критериями внедрения средних величин являются: наличие отменно однородной совокупы и довольно большой её объем.

В статистической практике употребляют несколько видов средних: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратичная и т. д. Любая из Тема 4. Средние величины обозначенных средних может получать две формы: ординарную и взвешенную. Если средняя рассчитывается по первичным (не сгруппированным) данным, применяется обычная форма, если по вторичным (сгруппированным) – взвешенная.

Внедрение каждого вида средних находится в зависимости от 2-ух событий, во-1-х, от нрава личных значений признака (прямые, оборотные, квадратичные, относительные). Во-2-х, от нрава алгебраической Тема 4. Средние величины связи меж персональными значениями признака и общим объемом (сумма, произведение, степень, квадратичный корень). Эта связь является определяющим свойством совокупы и отражается в логической формуле усредняемого признака. На основании логической формулы выбирается вид средней.

Средняя арифметическая –употребляется для усреднения прямых значений признаков методом их суммирования. Ее логическая формула имеет вид

.

Если данные несгруппированные, употребляется средняя Тема 4. Средние величины арифметическая обычная

,

где xi – отдельные значения признака,

n – объем совокупы.

Пример. Уставный фонд акционерной компании сформирован 6 учредителями; размер взноса каждого из их составляет, млн. грн.: 6; 10; 12; 9; 7; 4. Средний взнос 1-го учредителя

По формуле средней арифметической обычный рассчитываются также средние в хронологическом ряде, если интервалы времени, за которые даются значения признаков, однообразные.

Пример. Квартальный оборот Тема 4. Средние величины универсальных бирж в течение года составлял, млн. грн.: І кв. – 372; II кв. – 423; III кв. – 340; IV кв. – 455. Среднеквартальный оборот бирж составляет

Если в хронологическому ряду приведены моментные характеристики, то для вычисления средней они заменяются полусуммами значений на начало и конец периода. Если моментов больше 2-ух и интервалы меж Тема 4. Средние величины ними схожие, то средняя рассчитывается по формуле средней хронологической

,

где n –число моментов.

Пример. В коммерческом банке сумма кредиторской задолженности на начало каждого квартала составляла, млн. грн.: 01.01 – 20; 01.04 – 26; 01.07 – 32; 01.10 – 29; 01.01 будущего года – 22. Среднеквартальная сумма кредиторской задолженности

Если данные сгруппированы, то употребляют средневзвешенную арифметическую

,

где fi – частота;

di – частость i-й группы (удельный вес).

При всем этом .

Так, по Тема 4. Средние величины результатам сдачи экзамена студентами группы (табл. 4.1), средний балл оценок составляет 3,8.

Таблица 4.1

Оценка познаний студентов, баллов xi Всего
Количество оценок fi
Удельный вес оценок, % di 26,7 40,0 20,0 13,3

На основании частот

,

на основании частостей

.

Усреднению подлежат не только лишь отдельные значения вариант, да и их групповые средние , тогда весом будет частота (частость) каждой группы Тема 4. Средние величины:

.

Вычисленная таким методом средняя из групповых средних именуется общей.

Весом может быть также абсолютная величина, которая разумно связана с усредняемым показателем. Выбор весов основывается на логической формуле показателя. Так как средняя величина рассчитывается в расчете на единицу совокупы, то вес всегда будет находиться в знаменателе логической формулы. К примеру, при определении средней Тема 4. Средние величины суммы расходов на одно маркетинговое сообщение весом будет количество маркетинговых сообщений. При вычислении средней суммы расходов на 1-го рекламодателя весом будет количество рекламодателей.

Средняя арифметическая имеет определенные математические характеристики, которые открывают ее сущность. Так, сумма отклонений отдельных вариант от средней равна нулю, а сумма квадратов таких отклонений приближается к Тема 4. Средние величины минимуму. Эти два характеристики положены в базу исследования варианты признаков.

Если отдельные значения вариант прирастить (уменьшить) на величину А либо в kраз, то средняя поменяется соответственно.

К примеру, если валютные взносы людей в Сбербанк откорректировать на уровень инфляции, что составляет 1,2, то средний размер взноса возрастет соответственно Тема 4. Средние величины в 1,2 раза. Средняя не поменяется при пропорциональном изменении всех весов, но ее размер претерпевает конфигурации при определенных структурных сдвигах.

К примеру, при постоянной курсовой цены акций отдельных эмитентов средняя цена акций может повыситься за счет роста толики "дорогих" акций в полном количестве их продаж. Отмеченные характеристики средней употребляют в Тема 4. Средние величины случае усреднения признаков порядковой (ранговой) шкалы. Варианты признака можно оцифровать порядковыми рангами Ri = 1, 2, ..., n либо центрированными R0 = -2, -1, 0, 1, 2 (табл. 4.2). Разумеется, что . Средний центрируемыйбал отклоняется от среднего порядкового на величину .

Средний центрируемый балл приобретает положительные либо отрицательные значения и свидетельствует о положительной либо негативной оценке явления. Не считая того, его употребляют для сопоставления Тема 4. Средние величины оценок разных явлений, так как он не находится в зависимости от размерности шкалы. Поприведенными в табл. 4.2 данным об отношении населения к приватизации земли,

; .

Как следует, уровень поддержки приватизации земли положительный, но пока низкий.

Таблица 4.2

Отношение к приватизации Частота ответов, % Ранги
Ri R0
На сто процентов поддерживаю
Отчасти поддерживаю
Не поддерживаю Тема 4. Средние величины - 1
Всего - -

Средняя гармоническая употребляется для усреднения оборотных личных значений признаков методом их суммирования. Для несгруппированных данных это средняя гармоническая обычная

.

Если данные сгруппированы, то употребляют среднюю гармоническую взвешенную

.

Разумеется, что среднюю гармоническую взвешенную целенаправлено использовать, когда отсутствует информация о значении знаменателя логической формулы, т.е. отсутствуют веса.

Пример. Окупаемость расходов на Тема 4. Средние величины развитие новаторских работ характеризуется данными табл. 4.3.

Таблица 4.3

Новаторские работы Доход от использования, млн. грн. Окупаемость 1 млн. расходов на развитие новшества, млн. грн.
Изобретения 4,6
Рационализаторские предложения 6,5
Всего --

Логическая формула окупаемости расходов на развитие новшества будет иметь вид

.

Так как в роли веса fi выступают расходы на развитие работ, которые Тема 4. Средние величины в таблице отсутствуют, то применяется средняя гармоническая

Рассчитывать среднюю можно и в этом случае, когда отдельные значения вариантов не указаны, а известны только итоги (суммарные значения числителя и знаменателя) логической формулы.

Пример. Общий размер капитала 5 самых влиятельных коммерческих банков составлял 318,8 млн. грн., а общая сумма прибыли – 51,7 млн. грн. Средняя прибыльность капитала будет Тема 4. Средние величины определяться по логической формуле

.

Отсюда .

Средняя геометрическая определяется как произведение относительных величин динамики xi, которые являются кратными соотношению i-го значения показателя к предшествующему (i –1). Формула средней геометрической обычный

,

где – знак произведения;

n – число усредняемых величин.

Пример. Количество зарегистрированных злодеяний за четыре года подросло в 1,57 раза, в том числе за 1-ый год Тема 4. Средние величины – в 1,08, за 2-ой – в 1,1, за 3-ий – в 1,18, за 4-ый – в 1,12 раза. Среднегодовой темп роста количества зарегистрированных злодеяний составляет

,

т.е. число зарегистрированных злодеяний росло раз в год в среднем на 12%.

Если часовые интервалы неодинаковые, употребляют среднюю геометрическую взвешенную

,

где – часовой интервал.

Средняя квадратичная рассматривается как черта варианты (тема 5).

Социально Тема 4. Средние величины-экономические явления очень сложные и многогранные. Хоть какой показатель отражает только одну грань предмета зания. Всеохватывающая черта последнего предугадывает внедрение системы характеристик. Каждый показатель системы имеет самостоятельный смысл и в то же время является составляющей обобщающего характеристики, которая дает основания для конструирования интегральных оценок явлений. Так как характеристики системы, обычно Тема 4. Средние величины, разноименные, то объединение их в интегральную оценку предугадывает стандартизацию – приведение к одному виду. При стандартизации личные значения характеристик заменяются рангами, баллами, относительными величинами, стандартными отклонениями и тому схожее.

Так, рейтинговая оценка денежного состояния банков интегрирует 5 характеристик деятельности: качество капитала, качество активов, банковский менеджмент, прибыльность, ликвидность. Каждый параметр оценивается баллами – от Тема 4. Средние величины 1 (сильный) до 5 (неудовлетворительный). Средний невзвешенный балл выступает как рейтинговая оценка денежного состояния банка. Если оценка свойства капитала 3 балла, активов – 4, менеджмента – 3, прибыльности – 2 и ликвидности – 3, то средний балл составляет 15:5=3, т.е. финансовое состояние банка среднее.

При стандартизации с помощью относительных величин базой сопоставления может быть либо эталонное значение Тема 4. Средние величины (норма, эталон) либо среднее значение показателя по совокупы:

,

где xi j – значение і-го показателя j-го элемента совокупы;

xi, st – эталонное значение этого показателя;

– среднее.

Посреди характеристик системы выделяются катализаторы и дестимуляторы. Показатели-стимуляторы свидетельствуют о высочайшем уровне i-го показателя при pi j > 1; дестимуляторы – при pi j < 1. Чтоб привести их к конкретной Тема 4. Средние величины характеристике, для дестимуляторов pi jвычисляется как оборотная величина.

Средняя величина относительных m признаков, т.е. многомерная средняя, является интегральной оценкой j–го элемента совокупы:

.

Если характеристики системы числятся неравновесными, каждому из их присваивается определенный вес di, а расчет многомерной средней ведется по формуле арифметической взвешенной:

.

При уровень явления j-го элемента Тема 4. Средние величины выше среднего в совокупы либо нормативного; при , напротив, ниже.

В табл. 4.4 приведен расчет многомерной средней для оценки вкладывательной привлекательности j-го предприятия-эмитента. Характеристики числятся сбалансированными, 1-ые два – катализаторы, 3-ий и 4-ый – дестимуляторы.

Многомерная средняя составляет , т.е. финансовое состояние эмитента можно считать симпатичным для инвесторов.

Таблица Тема 4. Средние величины 4.4

Показатель Уровень показателя xi j Норматив xi, st Pi j
Рентабельность активов, % 47,20 20,00 2,36
Оборотность активов, 0,80 0,67 1,19
Коэффициент капитализации, % 3,90 <10,0 2,56
Коэффициент задолженности 0,34 0,70 2,06
Всего -- -- 8,17


tema-4-privlechenie-v-kachestve-obvinyaemogo-predvlenie-obvineniya-praktikum-dlya-studentov-3-go-kursa-ochnoj-formi.html
tema-4-problemi-realizacii-polnomochij-prokurora-na-stadii-predvaritelnogo-sledstviya.html
tema-4-proektirovanie-professionalnogo-zhiznennogo-puti.html